Centres étrangers, mars 2023, sujet 1 (adapté)

On considère le prisme droit \(\mathrm{ABFEDCGH}\) , de base \(\mathrm{ABFE}\) , trapèze rectangle en \(\text A\) .

On associe à ce prisme le repère orthonormé \(\left(\text{A}~;\overrightarrow{\imath}, \overrightarrow{\jmath},\overrightarrow{k}\right)\) tel que : \(\overrightarrow{\imath} = \dfrac14\overrightarrow{\text{AB}}, \quad \overrightarrow{\jmath} = \dfrac14\overrightarrow{\text{AD}}, \quad \overrightarrow{k} = \dfrac18\overrightarrow{\text{AE}}\) .

De plus, on a \(\overrightarrow{\text{BF}} = \dfrac12\overrightarrow{\text{AE}}\) . On note \(\text I\) le milieu du segment \(\mathrm{[EF]}\) et  \(\text J\) le milieu du segment \(\mathrm{[AE]}\) .

1. Donner les coordonnées des points  \(\text H\) ,  \(\text I\) et \(\text J\) .

2. Soit \(\overrightarrow{n}\) le vecteur de coordonnées \(\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}\) . Montrer que le vecteur  \(\overrightarrow{n}\) est normal au plan \(\mathrm{(IGJ)}\) .

On note \(\text L\) le projeté orthogonal du point \(\text H\) sur le plan \(\mathrm{(IGJ)}\) . On admet que les coordonnées de \(\text L\) sont \(\left(\dfrac83~;~ \dfrac43~;~\dfrac{16}{3}\right)\) .

3. Calculer la distance du point \(\text H\) au plan \(\mathrm{(IGJ)}\) .

4. Montrer que le triangle \(\mathrm{IGJ}\) est rectangle en \(\text I\) .

5. En déduire le volume du tétraèdre \(\mathrm{IGJH}\) .